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对循环节问题的两点看法

(文章来源: 【】    发布时间        浏览次数:  次)

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对循环节问题的两点看法

文\竹坪小学李灿

前段时间听了一节数学公开课,是一个老教师讲循环小数。他说0.53535……的循环节是35.我很奇怪,小数部分从第一个5那里就已经周期性地重复出现,循环节分明是53,怎么会是35呢?

后来,我才知道持两种观点的人都有。对这个问题,数学界的同仁一直争执不休,至今没有定论。持53的人认为,循环小数是无限小数,没有末位,循环节只能从首位依次往后看,因此只可能是53;持35的人认为,省略号前面是两个35,循环节不可能从中间掐断再写省略号,因此是35;也有人和稀泥,说两个都可以,因为纯循环小数也可以写成混循环小数的形式,看做纯循环小数就是53,看做混循环小数就是35……

我个人还是倾向于53的。因为纯循环小数和混循环小数在循环小数中是两个对立的概念,非此即彼。尽管有人说纯循环小数可以写成混循环小数的形式,但形式和内容还是两回事。我们承认,0.5353……可以改写成0,0.5353……后面再写一个5,就成了0.53535……,也就可以改写成0.5。于是,这个纯循环小数就有了混循环小数的形式,似乎35就有了道理。但是,任何事物必须回归本质,不能因形式而随意改变。就像1可以写成小数形式1.0,也可以写成分数形式一样。然而,1还是整数,不可能变成小数或者分数。

我们还应该从源头上搞清楚,循环小数是怎么来的。它是两个整数相除永远除不尽才产生的。0.53535……其实就是53÷99。我们可以列竖式算一算:

于是,0.5353……就是这么来的。我们也可以再除一位:

这样,得出的结果就是0.53535……。也就是说0.5353……和0.53535……其实就是同一个数。既然是同一个数,它不可能既是纯循环小数,又是混循环小数。你怎么写,写到哪里打省略号只是形式的问题,它们实质上是一回事,只不过后一个多除了一位。

更何况,循环小数考循环节时,还有一类题目也是我最近看到的。例如,问6.27627……的循环节是什么。如果按照上面持35的人的逻辑,那么6.27627……岂不是没有循环节?省略号前面是两个627,但我们能说循环节是627吗?第一个6在整数部分,循环节只能从小数部分算。如果我们从小数部分看,省略号前面是一个276和一个27,循环节是什么?如果是27,那么两个27中间怎么会夹一个6?如果是276,这不还是将循环节掐断再写省略号吗?也许你会说6.27627……这个写法不规范,少写了一个6,应该写成6.276276……。同样地,我们为什么不能反过来说0.53535……也不规范呢?我们完全可以说这里多写了一个5,应该写成0.5353……。我想出6.27627……这个题的人,他的本意就是要说这个数的循环节是276。他是要告诉学生,循环节不能从整数部分看,只能从小数部分依次往后看。不管写法怎么变形,我们只能通过类推,找出它的原始形式。6.27627……的原始形式是6.276276……,循环节就是276。同理,0.53535……的原始形式是0.5353……(也可以写成0.535353……),循环节就是53。

当然,话说回来,从教学的角度讲,像0.53535……的循环节最好不要涉及。它毕竟是一个复杂的带有争议性的问题,拿到小学数学中讨论的确不合适。小学教育还没有完全脱离应试教育的模式,中国中小学教育还没有真正的学术自由,很多东西需要参考答案,老师也需要依据参考答案来讲课、改试卷。我们的老师不可能猜测命题人的看法,个人意见也无法使其他老师和学生都信服。事实上,我们老师最怕这一类题目。卷子上出了不能不讲,讲又不知道按哪个标准。一旦自己的意见和参考答案不一致,很可能直接影响自己的教学成绩。对此,广大的数学老师也是不知所措。我们如果总是纠缠这一类怪题、偏题、难题,岂不是和“减负”的理念背道而驰?因此,这类问题在小学数学中最好不要涉及。

总之,我对0.53535……这类问题的看法就是上述两点:第一,循环小数不管形式如何改变,我们只能把它化成原始形式,从小数部分首位依次往后看,以此确定循环节;第二,这类有争议的问题最好不要在教学中涉及。

[本文来源:由《星空写作网》整理首发 - http://www.xkxzw.com/webHtml/20140128111443.html ]

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清风明月
【1】楼 (2014-02-03 18:25:33):
      很有见地

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